LA TORTUGA Y LA GEOMETRÍA DEL CÍRCULO: MANDALAS, TERAPIA COGNITIVA

LOGOMANDALA

Geometría de la tortuga: Una matemática hecha para aprender.

Seymour en clase

«La GEOMETRÍA DE LA TORTUGA es un estilo diferente de hacer geometría, de la misma manera en que el estilo axiomático de Euclides y el analítico de Descartes son diferentes uno del otro. El de Euclides es un estilo lógico. El de Descartes es algebraico. La geometría de la Tortuga es un estilo computacional de geometría.

Euclides construyó su geometría a partir de un conjunto de conceptos fundamentales, uno de los cuales es el punto. Un punto puede definirse como una entidad que tiene ubicación pero ninguna otra propiedad: no tiene color, ni tamaño, ni forma. Las personas aún no iniciadas en matemática formal aún no “matematizadas”, frecuentemente hallan este concepto difícil de aprender e incluso caprichoso. Es difícil para ellas relacionarlo con ninguna otra cosa que conozcan. También la geometría de la tortuga tiene una entidad fundamental, similar al punto de Euclides. Pero esta entidad que yo llamo Tortuga, puede ser relacionada con cosas que la gente conoce porque, a diferencia del punto de Euclides no están tan absolutamente despojada de todas sus propiedades y, en lugar de ser estática es dinámica. Además de ubicación la Tortuga tiene otra propiedad importante: tiene “orientación”. Un punto euclidiano está en algún lugar, tiene una ubicación, y eso es todo lo que se puede decir de él. Una tortuga está en algún lugar, tiene también una ubicación, pero al mismo tiempo mira en alguna dirección, es su orientación. En esto la Tortuga es como una persona. Yo estoy aquí y estoy mirando al norte, o un animal o un bote. De estas similitudes proviene la especial capacidad de la Tortuga de servir como el primer representante de la matemática formal para un niño. Los chicos pueden identificarse con ella y de ese modo pueden aportar su conocimiento sobre su propio cuerpo y sobre cómo se mueve, al trabajo de aprender geometría formal.

Imaginémonos, entonces, como yo lo he visto cientos de veces, un niño que inquiere: ¿cómo puedo hacer que la tortuga dibuje un círculo? EL instructor en un ambiente Logo no suministra respuestas a tales preguntas sino que introduce en cambio al niño en el método para resolver no sólo este problema, sino también una extensa gama de otros diferentes. Este método se resume en la frase “jugar a la Tortuga”. Se estimula al niño a mover su cuerpo tal como debe hacerlo la tortuga en la pantalla para realizar el modelo deseado. Para el niño que deseaba hacer un círculo, el moverse en círculo podría llevar a una descripción como ésta: “Cuando caminas en círculo das un pasito hacia delante y giras un poquito. Y sigues haciendo lo mismo.” Desde esta descripción hasta un programa formal de Tortuga hay sólo un pequeño paso. PARA CIRCULO REPITE (ADELANTE 1 DERECHA 1).

Seymour Papert – Desafío a la Mente

MI PRIMER CÍRCULO

Corría el año 1982. Recuerdo claramente cuando programé mi primer círculo (aunque sería más apropiado decir «circunferencia»). Participaba de un curso sobre Logo para docentes en el colegio Bayard. Luego de los primeros polígonos, me di cuenta enseguida de cómo podía hacerlo.

PARA CIRCULO
Repite 360 [AD 1 DE 1]
FIN

Fue muy emocionante. Me di cuenta además que los pequeños avances eran “diferenciales” y que sus orientaciones en cada momento eran equivalentes a la pendiente en cada punto de la curva. Luego al leer Desafío a la mente, entendí porque Papert utilizaba el término «ecuaciones diferenciales» para referirse a los procedimientos de la tortuga. «La geometría de la tortuga pertenece a una familia de geometrías que tiene propiedades ausentes en el sistema euclidiano o cartesiano. Se trata de las geometrías diferenciales desarrolladas desde Newton que han hecho posible gran parte de la física moderna.»

Mi formación matemática me permitió darme cuenta de estas conexiones y valorar a la Tortuga hasta el día de hoy como la invención más genial que se ha hecho a la fecha en computadoras en educación .

La comprensión de la construcción del procedimiento CIRCULO nos abre la puerta para otras construcciones derivadas.

PARA SEMICIRCULO
Repite 180 [AD 1 DE 1]
FIN

PARA CUARTOCIRCULO
Repite 90 [AD 1 DE 1]
FIN
En Desafío a la Mente, Papert cita trabajos con arcos de círculos, más específicamente con CUARTOS como módulo para construir formas más complejas. Por ejemplo:

PARA PETALO
CUARTOCIRCULO
DE 90
CUARTOCIRCULO
DE 90
FIN

PARA FLOR
REPITE 10 [PETALOS DE 36]
FIN

PETALO Y FLOR

En Micromundos puedo crear un Control deslizante llamado ARC y darle valor entre 0 y 360. El procedimiento sería entonces

PARA ARCO
REPITE ARC [AD 1 DE 1]
FIN

También podría crear un control deslizante al que llamaremos PASO para aplicar al avance:

PARA ARCO
REPITE ARC [AD PASO DE 1]
FIN

Observen los familiarizados con las variables que el «control deslizante» funciona como un puente hacia las mismas.

AVANCE Y DIÁMETRO

En el mismo libro Papert enumera y describe tres tipos de conocimiento matemático que se adquiere al trabajar con la tortuga. Uno de ellos es la relación entre los sistemas euclidianos, cartesiano y de tortuga.

Efectivamente en los primeros aparece claramente el concepto de Radio o Diámetro como propiedad esencial del círculo.

¿Cuál es el diámetro de un círculo generado con la instrucción Repite 360 [AD 1 DE 1]?

Podemos aplicar la ecuación PERÍMETRO CIRCULO = 2 * PI * RADIO o PERÍMETRO CIRCULO = PI * DIAMETRO

En este caso el perímetro es la sumatoria de los “diferenciales”, es decir: 360 * PASO

360 * PASO = PI * DIAMETRO

PASO = DIAMETRO * PI / 360 o DIAMETRO = 360 * PASO / PI

Lo que nos permitiría calcular el PASO que debe dar la tortuga para graficar un círculo de un determinado DIAMETRO o a la inversa cuál será el diámetro de un círculo para un determinado PASO de avance.

PARA CIRCULODIAMETRO : DIAM

DA “PASO : DIAM * PI / 360

REPITE 360 [AD : PASO DE 1]
FIN

Modificando el procedimiento podemos lograr que la tortuga quede en el centro del círculo que grafica.

PARA CIRCULODIAMETRO : DIAM

IZ 90 SP AD : DIAM/2 DE 90 (desplaza a la tortuga del centro un radio)

DA “PASO : DIAM * PI / 360

CP REPITE 360 [AD : PASO DE 1]

DE 90 SP AD : DIAM/2 IZ 90

FIN

Mediante una sencilla recursión podemos lograr estos anillos concéntricos,

PARA CONCENTRICOS : DIAM

SI : DIAM < 50 [ALTO]

CIRCULODIAMETRO : DIAM

CONCENTRICOS : DIAM – 20

FIN

Si no deseamos o no podemos aplicar ecuaciones para determinar la relación PASO – DIÁMETRO, podemos trabajar con el método experimental.

CONCENTRICOS

Grafiquemos círculos con diferentes avances y midamos sus diámetros. Podemos imprimirlos y medirlos con regla o utilizar a la misma tortuga como instrumento de medición.

Graficamos un círculo: REPITE 360 [AD 1 DE 1]

Luego giramos la tortuga DE 90 y probamos con avances de distintos PASOS hasta llegar al otro extremo.

Medición del diámetro con la tortuga

Construimos una tabla VOLCANDO LOS VALORES

PASO	DIAMETRO MEDIDO	Relación: DIAM / PASO
1	114	114/1 = 114
2	228	228/2 =114
3	342	342/3 = 114
4	456	456/4 = 114
0,5	57	57 / 0,5 = 114

Comparando con el DIAMETRO CALCULADO observamos una buena aproximación, ya que para un PASO = 1, DIAMETRO = 360 / PI = 114,59

Experimentalmente encontramos la relación: DIAMETRO / PASO = 114

Por lo tanto: DIAMETRO / 114 = PASO

PARA CIRCULODIAMETRO : DIAM

DA “PASO : DIAM / 114

REPITE 360 [AD : PASO DE 1]

FIN

MANDALAS

Trabajemos ahora el círculo dentro de un contexto de resonancia cultural. Introduzcamos el concepto de «mándala» o «mandala». Una investigación elemental en WIKIPEDIA nos puede porveer de conocimientos básicos:

«Mándala es un término de origen sánscrito, que significa diagramas. Etimología: Círculo.

El Diccionario de la lengua española de la RAE acepta tanto la versión etimológica «mándala» (pronunciada esdrújula) como la usual española «mandala» (pronunciada grave).

Mandala tibetano

Los mándalas son diagramas o representaciones esquemáticas y simbólicas del macrocosmos y el microcosmos, utilizados en el budismo y el hinduismo. Estructuralmente, el espacio sagrado (el centro del universo y soporte de concentración), es generalmente representado como un círculo inscrito dentro de una forma cuadrangular. En la práctica, los de origen hindú son lineales, mientras que los mándalas budistas son bastante figurativos. A partir de los ejes cardinales se suelen sectorizar las partes o regiones internas del círculo-mándala.

Por otra parte, la mayoría de las culturas posee configuraciones mandálicas o mandaloides, frecuentemente con intención espiritual: la mandorla (almendra) del arte cristiano medieval, ciertos laberintos en el pavimento de las iglesias góticas, los rosetones de vitral en las mismas iglesias; los diagramas de los indios pueblo, etcétera.

Es muy probable que esta universalidad de las figuras mandálicas se deba al hecho de que las formas concéntricas sugieren una idea de perfección (de equidistancia con respecto a un centro) y de que el perímetro del círculo evoque el eterno retorno de los ciclos de la naturaleza (tal como en la tradición helenística lo proponía, por ejemplo, el uróboros).

A su vez, en los rituales mágicos es frecuente la separación de un espacio sacro respecto de uno profano; para esto, en la tradición del ocultismo occidental, se ha recurrido y recurre a los círculos mágicos; el espacio sacro —o al menos el del ritual— es el inscripto en tales círculos que, de este modo, cumplen funciones análogas a los mándalas orientales.

Esta universalidad de los mándalas hizo que el psiquiatra Carl Gustav Jung los privilegiara como expresiones probables de lo inconsciente colectivo. Para Jung, el centro del mándala figura al sí-mismo (Selbst), que el sujeto intenta lograr perfeccionar en el proceso de individuación.»

El mándala como relajación

Dentro de las múltiples técnicas de relajación orientales, se encuentra la de pintar mándalas, los cuales son publicados en libros parecidos a los de los libros de colorear de los niños, donde viene el mándala sólo dibujado con líneas y el resto en blanco dispuesto para colorear. Esta técnica de relajación no requiere ninguna disciplina expresa, como puede serlo en otras, ya que quien está haciéndolo lo colorea según sus gustos estéticos e imaginativos. La pueden realizar personas de cualquier edad, siendo además que fortalece la creatividad.

Los Mandalas actúan equilibrando los chakras por medio de los colores y haciendo meditar el lado lógico de nuestro cerebro a través de las formas geométricas sagradas. El Mandala enviará impulsos a la mente interna llegando a los receptores del cerebro donde se procesará y se obtendrá una reacción.

Extraigo de uno de los tantos blogs sobre mandalas, el siguiente texto:

“Los Mandalas actúan equilibrando los chakras (centros energéticos del cuerpo según el hinduismo) por medio de los colores y haciendo meditar el lado lógico de nuestro cerebro a través de las formas geométricas sagradas. El Mandala enviará impulsos a la mente interna llegando a los receptores del cerebro donde se procesará y se obtendrá una reacción

Como se ha dicho, el meditar con Mandalas sana tanto a nivel físico como psíquico y espiritual. Es muy probable que experimentes alteraciones en la consciencia, como la sensación de expansión de la misma. También suele traer «recuerdos» a la memoria consciente que los teníamos olvidados en el subconsciente, tales como traumas de la infancia. Permitiendo que afrontemos tales hechos y así sacar las «trabas» de nuestra mente, para poder superar todas nuestras limitaciones a nivel psicológico-espiritual y enfermedades a nivel físico.”

PROGRAMACIÓN DE LOGOMANDALAS

Durante el verano hice relajación y terapia pero programando “Logo mandalas”. La variedad es infinita. En mi caso utilicé una herramienta que grafica ARCOS y que tiene 2 parámetros: El PASO (:PASO) que determina el diámetro y el ARCO (:ARC) que determina el ángulo del arco.

PARA ARCO : PASO : ARC

REPITE : ARC [AD : DIA DE 1]

FIN

La programación la realicé en Micromundos EX, y utilicé variables locales en lugar de CONTROLES NUMERICOS, para que fuese similar a la programación con otros LOGOS como el FMS LOGO.

A continuación una serie de bellos LOGO_MANDALAS. Intenten programar las propias o descubrir la programación de las mías. Los procedimientos que utilicé están guardados en el documento adjunto al final de este texto. Si bien utilicé recursos como variables y recursión, el nivel de programación puede ser tan básico como uno desee.

MANDA1

MANDA1b

MANDA2

MANDA4

MANDA6

MANDA7

MANDA8

MANDA8b

MANDA9

MANDA10

 

 

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