OUTCASTS: LOGO, LA QUÍMICA DEL CARBONO Y LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO

Educando la era digital, mi otro blog

Un  reciente artículo enviado al grupo LOGO se interrogaba con el destino del Scratch, un entorno de programación desarrollado en el MIT, con una filosofía aparentemene similar al desterrado Logo. Para el artículo se daba la paradoja de que Scratch parecía seguir el mismo  camino del Logo en el sistema educativo: El destierro (outcast).

No me preocupa el destino del Scratch, un software al que considero muy inferior a cualquier versión de Logo. En todo caso su futuro estará ligado a la valoración que hace la escuela de la programación, la construcción, y la resolución de problemas. Lo que sí me preocupa y desorienta es que en el plan de la denominada NES (Nueva Escuela Secundaria) del gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, a la lista de desterrados del SE, se agrega nada menos que la denominada Química Orgánica, la química del carbono y de la vida. Efectivamente, en los contenidos básicos del llamado Ciclo Superior Orientado(3° , 4° y 5° años) , la química Orgánica que era la base de la química de 5° año, ha sido reducida a 1 unidad de las 6 / 7 unidades que componen  la planificación de Química de 5° año (única etapa contemplada en el nuevo plan). Y si bien es verdad que el ciclo contiene una determinada cantidad de horas donde las escuelas pueden reforzar áreas de acuerdo a la orientación elegida, las orientaciones definidas posibles son:

• Comunicación
• Economía y Administración
• Educación Física
• Ciencias Naturales
• Ciencias Sociales
• Informática
• Arte
• Agraria / Agro Ambiente
• Turismo
• Lenguas

De manera que quizás en Ciencias Naturales o Agro Ambiente podrían incluirse contenidos relacionados, aunque si la materia en sí está en 5° año y minimizada no cabe esperar demasiadas posibilidades de expandirla. De hecho la misma NES reconoce el poco interés que tienen los contenidos de la química del carbono, cuando sostiene:  “No  se  pretende  un  estudio  detallado  de  los  compuestos  del  carbono,  sino  el  reconocimiento (1)  de  su  existencia  e  importancia.  Se  sugiere  tratar  los  contenidos  relativos  a  los  compuestos del  carbono  junto  con  otros  contenidos  de  este  y  de  los demás    bloques    afines.    Así    se    procura    facilitar    la    construcción  de  una  visión  integrada  de  la  química.  Por  ejemplo,   a   continuación   de   uniones   químicas,   tratar   modelos del átomo de carbono, sus enlaces y las estructuras de  algunos  hidrocarburos”.

Sin duda es una evaluación realista porque con el espacio concedido mucho más no puede realizarse pero no deja de sorprender que se minimice de esta forma a la química de la vida. Con todo debo reconocer que ya en mis tiempos de estudiante, mis conocimientos de química desarrollados en la escuela secundaria fueron pobres y lo que sé lo adquirí en mi etapa universitaria y docente.

Finalmente el 3° “descastado” (Outcasted) de la vida escolar, lleva varios años de destierro, infra valoración y reducción: La geometría y en particular la Geometría del espacio, al extremo que por experiencia sé que para un alumno de 2° año, la resolución de la superficie de un triángulo es un enigma irresoluble.

GEOMETRÍA DEL CARBONO Y SUS ENLACES

Este tema empecé a pensarlo como un proyecto de diseño 3D. Me parece poderoso poder diseñar y luego imprimir los componentes de una molécula, especialmente las orgánicas que forman largas cadenas con una geometría definida. Se da también el interesante efecto de los isómeros, compuestos de igual fórmula molecular, pero diferentes propiedades consecuencia de una diferente distribución de sus átomos o de sus uniones. Por ejemplo la celulosa y la sacarosa son polímeros de la glucosa que difieren en el tipo de unión (alfa y beta). La saliva contiene “ptialina” un catalizador para crackear la unión alfa de la sacarosa, pero lamentablemente no poseemos el catalizador de la unión beta, si así fuese podríamos alimentarnos con una buena ensalada de pasto.

HIDROCARBUROS: CARBONO ENCADENADO

Los HC son los primeros compuestos orgánicos que se estudian dado su simplicidad y su importancia. Todos los derivados del petróleo, incluyendo los combustibles como la nafta, el gasoil, el gas natural, el gas envasado, son HC, que son básicamente cadenas de átomos de carbono enlazados a átomos de hidrógeno.

El carbono es el elemento 6 de la Tabla Periódica, es decir tiene n° atómico 6, es decir su núcleo posee 6 protones y el átomo neutro 6 electrones, distribuidos en 2 niveles: 2 4.

Además en el núcleo encontramos otra partícula: el neutrón, que tiene una masa aproximadamente igual al protón pero carente de carga eléctrica. Puede encontrarse núcleos de carbono con diferente cantidad de neutrones. A ésto llamamos ISÓTOPOS. El isótopo más numeroso del C  (98,89%) tiene 6 neutrones y por lo tanto su Número Másico es = 6p + 6 n = 12.

Pero también hay núcleos de C con 8 protones, y su Número Másico es = 6p + 8 n = 14. Es el C14 que se utiliza para determinar la antiguedad de objetos o restos que contienen Carbono. La presencia de este isótopo es la causa de que el Peso atómico promedio sea levemente superior a 12 (12,0107)

Los 4 electrones libres del 2° nivel explican la gran capacidad reactiva que tiene este elemento, esa capacidad se cuantifica con el n° de enlaces que puede formar, que son 4, 1 por cada electrón.  Se dice que el carbono tiene valencia 4.

En la figura vemos fórmulas desarrolladas de un tipo de HC denominados alcanos o HC saturados, donde cada C forma 4 enlaces y los enlaces C – C son enlaces simples. Como todos los HC estos alcanos son lineales (propano, butano) o ramificados (isobutano, isopentano)  y abiertos. También hay HC cíclicos (Ciclo pentano).

Estas fórmulas son esquemas simplificados planos denominados “fórmulas desarrolladas”.

La geometría de las cadenas que determinan en parte sus propiedades se entiende a partir de la dirección 3d de los enlaces. El Carbono saturado tienen sus 4 enlaces dirigidos hacia los vértices de un tetraedro regular.

 

GEOMETRÍA DEL CARBONO TETRAÉDRICO

En el tetraedro regular las 3 caras son triángulos equiláteros congruentes. Los ángulos formados por las aristas son de aproximadamente 109°. Si una de las caras está apoyada en el plano horizontal, la línea perpendicular a la base que pasa por el vértice superior pasa por el punto medio de la base. Este se obtiene trazando las mediatrices de cada lado. VIDEO TRAZADO MEDIATRICES.

TETRAEDROPROYECCION

La figura graficada en FMS LOGO muestra la proyección del tetraedo sobre el plano horizontal. La cara A´B´C´ apoya sobre el plano y tiene las medidas de la cara del tetraedro. Las otras caras son: A´O´C´, C´O´B´y A´O´B´.

O´es la proyección del vértice superior.

Las aristas proyectadas son A´O´, C´O´Y B´O´.

Estas aristas proyectadas forman ángulos de 120°, ya que cada uno de ellos se opone al lado de la base (ángulo B´O´C´ se opone a C´B´, ángulo A´O´C´  se opone a A´C´ y ángulo C´O´B´ se opone a C´B´. Como los lados son congruentes también los son los ángulos entre sí y por lo tanto su medida es 260/3 = 120°,

El procedimiento TETRAPROYE, grafica la figura.

PARA  TETRAPROYE :LADO
BP GD 90
PONCL 5
PONGROSOR 3 BL REPITE 3 [AV :LADO GI 120]; grafica el triángulo base A´B´C´

MAKE “PO tan 30*:LADO/2; en el triángulo rectángulo P´O´B´, el ángulo B´ de 60° queda dividido en 2 por la mediatriz que es también bisectriz. B´/2 = 30° y la TAN 30 = P´O´/lado/2  y PO  
MAKE “ARISTA :LADO/2/SEN 60;las aristas O´C´=O´A´= O´B´son las hipotenusas de los triángulos O´C´Q´, etc

MAKE “MEDIATRIZ POTENCIA (POTENCIA :LADO 2) – (POTENCIA :LADO/2 2) 1/2; calcula la longitud de las mediatrices P´C´= R´B´= A´Q´. En el triángulo rectángulo A´C´P´ la mediatriz es el cateto mayor, A´P´ el cateto menor (la mitad del lado) y A´C¨la hipotenusa

pongrosor 1
poncl 0
repite 3 [av :lado / 2 gi 90 av :mediatriz re :mediatriz gd 90 av :lado / 2 gi 120]
pongrosor 2
poncl 3
repite 3 [bl gi 30 av :arista re :arista gd 30 sl av :lado gi 120]

fin

 

 
GRAFICA DEL CARBONO TETRAÉDRICO EN 3D

PARA GRAFMETANO3D

bl CATO
SL AV 20 BL AV 80 HATO MAKE “posh1 POSXYZ
SL re 100 downpitch 109
SL AV 10 BL av 80 SL AV 10 HATO MAKE  “posh2 POSXYZ
SL re 100 UPPITCH 19 gi 120 DOWNPITCH 19
SL AV 10 BL av 80 SL AV 10 HATO MAKE “posh3 POSXYZ
SL re 100 UPPITCH 19 gi 120 DOWNPITCH 19
SL AV 10 BL av 80 SL AV 10 HATO MAKE “posh4 POSXYZ
SL re 100 UPPITCH 19 gi 120 DOWNPITCH 19
UPPITCH 109

FIN

CATO grafica un esquema plano del átomo de carbono.

HATO grafica un esquema plano del átomo de hidrógeno.

MAKE  “poshn posxyz guarda la posición 3d de cada átomo de hidrógeno.

UPPITCH 19 coloca a la tortuga en el plano horizontal y en ese plano gira 120° para graficar la siguiente arista DOWNPITCH 19

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METANO DANCE

ALCANOS, ALQUENOS Y ALQUINOS

Los HC se clasifican en 3 grupos según el tipo de enlace C – C que posean en su cadena. Los alcanos están constituidos por cadenas de carbonos tetraédricos, cada valencia del C está enlazada a un átomo o grupo de átomos diferente, por esa razón se los llama HC saturados. Los enlaces C – C saturados pueder girar alrededor de sus enlaces. El alcano más simple es el metano, cuya fórmula molecular es CH4. La fórmula molecular de los alcanos es una función del n° de carbonos: CnH2n+2.

Los alquenos poseen al menos un enlace C-C con 2 ligaduras, ambos carbonos tiene sus valencias no saturadas, pues potencialmente tienen 1 valencia disponible. Los C así enlazados no pueden girar alrededor del enlace y están contenidos en un mismo plano.

El alqueno más simple es el etileno o eteno (C2H4), uno de los compuestos orgánicos más utilizados. Entre otras funciones es el componente del polietileno. La fórmula molecular de los alquenos es una función del n° de carbonos: CnH2n.

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Finalmente los llamados alquinos. tienen un enlace C-C triple. El alquino más simple es el ETINO (acetileno) cuya fórmula molecular es C2H2. La fórmula molecular de los alquinos es CnHn.

AEI_GEOMETRÍA

NOMECLATURA

Los HC pueden tener cadenas abiertas o cíclicas, lineales o ramificadas. El nombre tiene 2 componentes: la terminación indica si es un HC saturado ANO o no saturado (ENO o INO) y la raíz el n° de carbonos.

N° C	Alcanos	Alquenos	Alquinos
1	Metano – CH4
2	Etano – C2H6	Eteno – C2H4	Etino – C2H2
3	Propano  – C3H8	Propeno – C3H6	Propino – C3H4
4	Butano – C4H10	Buteno – C4H8	Butino – C4H6
5	Pentano – C5H12	Penteno – C5H10	Pentino – C5H8
6	Hexano – C6H14	Hexeno – C6H12	Hexino – C6H10
7	Eptano – C7H16	Epteno – C7H14	Eptino – C7H12
8	Octano – C8H18	Octeno – C8H16	Octino – C8H14
9	Nonano – C9H20	Noneno – C9H18	Nonino – C9H16
10	Decano – C10H22	Deceno – C10H20	Decino – C10H18
N	CnH2n+2	CnHn	CnH2n-2

ISÓMEROS

Son compuestos que tienen la misma fórmula molecular pero difieren en  la estructura o la posición de un grupo funcional o enlace no saturado. Los isómeros tienen diferentes propiedades físicas y químicas. Por ejemplo el Butano cuya fórmula molecular es C4H10 tiene 2 isómeros, uno llamado N Butano tiene una cadena lineal y el otro llamado Iso Butano o metil Propano tiene una cadena ramificada. Ambos son gases incoloros, pero el punto de fusión del N Butano es -138 °C y el de ebullición 0 °C. Para el Iso Butano esos valores son -160 °C y -12°C.

Isómeros estructurales como el ISO BUTANO son posibles a partir de una cadena de 4 carbonos. El pentano tiene 3 isómeros: N Pentano, Iso Pentano y Neo Pentano

El exano tiene 5 isómeros. La siguiente tabla demuestra que partiendo del butano el nó de isómeros estructurales de un alcano de N carbonos es la sumatoria de los isómeros de los 3 alcanos inmediatamente inferiores.

N° C	N° isómeros estructurales
1	1
2	1
3	1
4	2
5	3
6	5
7	8
8	13
9	21
10	34
11	55

Como puede observarse se trata de una progresión donde a partir del C4 la cantidad de isómeros ISOn de la cadena Cn, es la suma de ISOn-1 + ISOn-2.  ISOn = ISOn-1 + ISOn-2, por ejemplo para n = 7:  (ISO7 = 8) = (ISO6=5) + (ISO5=3)

Los siguientes procedimientos permite calcular el n°de isómeros estructurales en función del n° de carbonos de un alcano

PARA NUMISOMEROS :NC

si no ENTERO? :NC [ES [Entrada inválida] alto]
si :NC < 1 [Es [Entrada inválida] alto]
make “s1 0
make “s2 1
make “isoestructural SERIEISO :S1 :S2 :NC
(es [Isómeros estructurales=] :isoestructural)

FIN

PARA SERIEISO :a1 :a2 :nc; procedimiento recursivo
si :nc = 1 [dev 1]; es ek caso del metano
si :nc = 2 [dev :a2]; cuando el n° C llega a 2 devuelve la sumatoria final
dev SERIEISO :a2 :a1 + :a2 :nc – 1; :a2 pasa a valer :a1+:a2 y :nc se reduce en 1
fin

Cuando un procedimiento recursivo devuelte un valor simultáneamente se detiene

PARA ENTERO? :X; devuelve ciesto si el input es un valor entero
SI NO NUMERO? :X [ES [El Input debe ser un número] ALTO]
DEV :X = ENTERO :X
FIN

Si ingresamos NUMISOMEROS 5

SERIEISO 0 1 5

SERIEISO 1 0+1 5-1

SERIEISO 1 1 4

SERIEISO 1 1+1 4-1

SERIEISO 1 2 3

SERIEISO 2 2+1 3-1

SERIEISO 2 3 2

como :NC = 2 Dev :a2 = 3

Para Nc= 12

>NUMISOMEROS 12
Isómeros estructurales= 89

LECTOR DE NOMENCLATURA

Nos proponemos hacer un procedimiento que lea la nomenclatura de un Hidrocarburo Saturado (por ejemplo BUTANO) e informe la cantidad de carbonos, la fórmula molecular, la semidesarrollada, la cantidad de isómeros (estructurales o posicionales). Para realizarlo necesitamos 2 procedimientos auxiliares que son funciones contenidas en EXCEL y ACCES: Derecha e Izquierda

PARA DERECHA :T :N ;extraerá de la palabra :T :N caracteres desde la derecha. 

si (cuenta :t) < :n [(es [El 1° input tiene menos elementos que] :n) alto]
si :n = 0 [dev “]
dev palabra DERECHA mu :t :n – 1 ultimo :t

FIN

>DERECHA “BUTANO 3

palabra DERECHA “BUTAN 2  “O

palabra DERECHA “BUTA 1 “NO

palabra DERECHA “BUT 0 “ANO

:n = 0 DEV palabra ” “ANO

No dices qué debo hacer con ANO

PARA IZQUIERDA  :t :n ;extraerá de la palabra :T :N caracteres desde la izquierda. 
si (cuenta :t) < :n [(es [El 1° input tiene menos elementos que] :n) alto]
si :n = 0 [dev “]
dev palabra primero :t izquierda mp :t :n – 1
fin

>IZQUIERDA “PENTANO (CUENTA “PENTANO) – 3
No dices qué debo hacer con PENT

PARA NUMCAR :HC

make “fininput DERECHA :HC 3
make “raizinput IZQUIERDA :HC  (cuenta :HC) – 3
si :raizinput = “met [dev 1]
si :raizinput = “et [dev 2]
si :raizinput = “prop [dev 3]
si :raizinput = “but [dev 4]
si :raizinput = “pent [dev 5]
si o :raizinput = “ex :raizinput = “hex  [dev 6]
si o :raizinput = “ept :raizinput = “hept [dev 7]
si :raizinput = “oct [dev 8]
si :raizinput = “non [dev 9]
si :raizinput = “dec [dev 10]
si :raizinput = “undec [dev 11]
si :raizinput = “dodec [dev 12]

FIN

>NUMCAR “EPTANO
No dices qué debo hacer con 7

PARA FORMULAMOL :ALCANO

MAKE “NUMC NUMCAR :ALCANO
MAKE “NUMH :NUMC * 2 + 2
MAKE “PESOMOL :NUMC*12+:NUMH*1
si :numc = 1 [Es [Fórmula molecular= CH4] (es [PESO MOLECULAR=] :PESOMOL) ALTO]
(ES [Fórmula molecular=] (PALABRA “C :NUMC “H :NUMH))
(ES [PESO MOLECULAR=] :PESOMOL)
TYPE [Fórmula semidesarrollada:] TYPE “CH3 TYPE “- REPITE :NUMC – 2 [TYPE  “CH2-] ES “CH3

FIN

>FORMULAMOL “EXANO

N-EXANO
Fórmula molecular= C6H14
PESO MOLECULAR= 86
Fórmula Semi desarrollada:CH3-CH2-CH2-CH2-CH2-CH3

>FORMULAMOL “DECANO
N-DECANO
Fórmula molecular= C10H22
PESO MOLECULAR 142
Fórmula Semi desarrollada:CH3-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH3

Finalmente para los alcanos agreguemos el procedimiento ALCANO que grafica también la fórmula desarrollada plana del N Alcano.

PARA ALCANO :alcano

MAKE “NUMC NUMCAR :ALCANO
si :numc = 1 [bp Grafmetano2d formulamol :alcano alto]
bp gi 90 av :numc*60 gd 90; desplaza la tortuga hacia el fondo
grafmetilo2d; el metilo es el grupo -CH3
repite :numc – 2 [grafmetileno2d]; el metileno es el grupo -CH2-
grafmetilo2dfin
FORMULAMOL :alcano

FIN
>ALCANO “DODECANO

N-DODECANO
PESO MOLECULAR 170
Fórmula molecular= C12H26
Fórmula Semi desarrollada:CH3-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH3

ISOMERÍA POSICIONAL

Es el caso en que los isómeros provienen de la diferente posición de un grupo funcional, por ejempo el -OH característico de los alcoholes o una doble o triple ligadura. En el caso de los alquenos hay 1 solo PROPENO ya que la cadena CH2=CH-CH3 es la misma que CH3-CH=CH2 como puede visualizarse haciendo rolar la molécula sobre el eje vertical:

 

En cambio el BUTENO tiene 2 isómeros posicionales:

 BUTENO 1:  CH2=CH-CH2-CH3 y BUTENO 2: CH3-CH=CH=CH3

El  BUTENO 2 a su vez tiene 2 estereo isómeros el CIS y el TRANS productos de la imposibilidad de rotación del doble enlace.

En el CIS los 2 metilos (carbonos 1 y 4) están del mismo lado de la doble ligadura.

 En el TRANS los 2 metilos (carbonos 1 y 4) están en lados contrarios de la doble ligadura.

PARA FORMULAMOL2 :ALQUENO

BT
MAKE “NUMC NUMCAR :ALQUENO
SI :NUMC > 12 [ES [NO TENEMOS INFO DE ESTE ALQUENO] ALTO]
MAKE “NUMH :NUMC * 2
MAKE “PESOMOL :NUMC*12+:NUMH*1
(ES [Fórmula molecular=] (PALABRA “C :NUMC “H :NUMH))
(ES [PESO MOLECULAR] :PESOMOL)
MAKE “NUMISOMEROS ENTERO :NUMC / 2
(ES [ISOMEROS POSICIONALES=] :NUMISOMEROS)
SI :NUMC = 2 [TYPE [Fórmula desarrollada:] TYPE CAR 32 TYPE “CH2=  ES “CH2]
SI :NUMC = 3 [TYPE [Fórmula desarrollada:] TYPE CAR 32 TYPE “CH2=  TYPE “CH- ES “CH3]
SI :NUMC = 4 [formulabutenos]
SI :NUMC = 5 [formulapentenos]
SI :NUMC = 6 [formulaexenos]
SI :NUMC = 7 [formulaeptenos]
SI :NUMC = 8 [formulaoctenos]
SI :NUMC = 9 [formulanonenos]
SI :NUMC = 10 [formulaDECEnos]
SI :NUMC = 11 [formulaUNDECEnos]
SI :NUMC = 12 [formulaDODECENOS]

FIN

>FORMULAMOL2 “BUTENO

PESO MOLECULAR 56
ISOMEROS POSICIONALES= 2
Fórmula Semi desarrollada BUTENO 1: CH2=CH-CH2-CH3
Fórmula Semi desarrollada BUTENO 2: CH3-CH=CH-CH3

>FORMULAMOL2 “NONENO

Fórmula molecular= C9H18
PESO MOLECULAR 126
ISOMEROS POSICIONALES= 4
Fórmula semi desarrollada NONENO 1: CH2=CH-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH3
Fórmula semi desarrollada NONENO 2: CH3-CH=CH-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH3
Fórmula semi desarrollada NONENO 3: CH3-CH2-CH=CH-CH2-CH2-CH2-CH2-CH3
Fórmula semi desarrollada NONENO 4: CH3-CH2-CH2-CH=CH-CH2-CH2-CH2-CH3

ALQUINOS: ISOMERÍA POSICIONAL

El PROPINO

El PROPINO no tiene isómeros posicionales, éstos aparecer a partir de os BUTINOS, BUTINO 1 (CH#C-CH2-CH3)  y BUTINO 2 (CH3-C#C-CH3)

PARA FORMULAMOL3 :ALQUiNO

BT
MAKE “NUMC NUMCAR :ALQUINO
MAKE “NUMH :NUMC * 2 – 2
SI :NUMC > 12 [ES [NO TENEMOS INFO DE ESTE ALQUINO] ALTO]
MAKE “PESOMOL :NUMC*12+:NUMH*1
(ES [Fórmula molecular=] (PALABRA “C :NUMC “H :NUMH))
(ES [PESO MOLECULAR] :PESOMOL)
MAKE “NUMISOMEROS ENTERO :NUMC / 2
(ES [ISOMEROS POSICIONALES=] :NUMISOMEROS)
SI :NUMC = 2 [TYPE [Fórmula semidesarrollada:] TYPE CAR 32 TYPE “CH#  ES “CH]
SI :NUMC = 3 [TYPE [Fórmula semidesarrollada:] TYPE CAR 32 TYPE “CH#  TYPE “C- ES “CH3]
SI :NUMC = 4 [formulabutInos]
SI :NUMC = 5 [formulapentinos]
SI :NUMC = 6 [formulaexinos]
SI :NUMC = 7 [formulaeptinos]
SI :NUMC = 8 [formulaoctinos]
SI :NUMC = 9 [formulanoninos]
SI :NUMC = 10 [formulaDECinos]
SI :NUMC = 11 [formulaUNDECinos]
SI :NUMC = 12 [formulaDODECINOS]
FIN

>FORMULAMOL3 “PENTINO

Fórmula molecular= C5H8
PESO MOLECULAR 68
ISOMEROS POSICIONALES= 2
Fórmula semi desarrollada PENTINO 1: CH#C-CH2-CH2-CH3
Fórmula semi desarrollada PENTINO 2: CH3-C#C-CH2-CH3

>FORMULAMOL3 “UNDECINO

Fórmula molecular= C11H20
PESO MOLECULAR 152
ISOMEROS POSICIONALES= 5
Fórmula semi desarrollada UNDECINO 1: CH##C-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH3
Fórmula semi desarrollada UNDECINO 2: CH3-C##C-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH3
Fórmula semi desarrollada UNDECINO 3: CH3-CH2-C##C-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH3
Fórmula semi desarrollada UNDECINO 4: CH3-CH2-CH2-C##C-CH2-CH2-CH2-CH2-CH2-CH3
Fórmula semi desarrollada UNDECINO 5: CH3-CH2-CH2-CH2-C##C-CH2-CH2-CH2-CH2-CH3

 

Finalmente el procedimiento general es COMPUESTOHC que analiza el input y reconoce si es alcano, alqueno o alquino.

PARA COMPUESTOHC :HC

MAKE “FININPUT DERECHA  :HC  3
SI :FININPUT = “ANO [ALCANO :HC ALTO]
SI :FININPUT = “ENO [ALQUENO :HC ALTO]
SI :FININPUT = “INO [ALQUINO :HC ALTO]
ES [NO RECONOZCO ESTE NOMBRE]

FIN

APROXIMACIÓN A LA GEOMETRÍA DE LAS MOLÉCULAS

He recorrido algunos aspectos de la geometría de las moléculas de los Hidrocarburos, que plantean problemas matemáticos de las relaciones entre los ángulos que forman los enlaces. Relaciones que determinan sus propiedades físicas y reactivas. Al mismo tiempo es un ejemplo de cómo su programación nos permite ampliar nuestra percepción de las moléculas en el espacio y sobre todo el movimiento relativo de los grupos funcionales dentro de la misma. En algún punto también nos permite experimentar un placer estético jugando con las formas y sus revoluciones.

Como decía Aristóteles, quizás el primer constructivista, “el hombre nada puede aprender sino en virtud de lo que sabe”, por eso las herramientas digitales deben estar siempre detrás de nuestro conocimiento, nunca delante. La tortuga como alumno necesita del conocimiento del programador, es éste quien tracciona los acontecimientos, interpreta los errores y la percepción de formas y movimientos. Esta interacción entre el conocimiento propio y el accionar de la tortuga es el medio por el cual aprendemos y ampliamos nuestra cognición, al pensar en lo que hace la tortuga, pensamos sobre nuestro pensamiento, pues la tortuga acciona, movida por nuestras ideas. Es un espejo de nuestra mente, que incluye cognición y valores. Dime cómo usas la computadoara y te diré quién eres.

Propinos en el espacio

 

 

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PITÁGORAS, 1/3 DE LA FELICIDAD

MATEMÁTICA, FILOSOFÍA Y TRASCENDENCIA

Platón escribió sobre la puerta: “Que sólo entren los geómetras”. Los tiempos han cambiado. La mayoría de aquellos que ahora buscan ingresar al mundo intelectual de Platón ni saben matemática ni experimentan contradicción en un desobediencia al mandato. La escisión patológica de nuestra cultura entre “humanidades” y “ciencia” apuntala su seguridad. Platón era un filósofo, y la filosofía pertenece a las humanidades con la misma certeza con que la matemática pertenece a las ciencias”.

Seymour Papert, Desafío a la Mente. Cap. 2

Una de las característica que más he apreciado del movimiento Logo iniciado en los 80 en Argentina es que sus iniciadores tenían en común un enfoque quasi renacentista, donde se integraban las ciencias duras, entre ellas la computacional, con las humanidades. La filosofía, el arte, la educación como práctica y como ámbito de reflexión, eran una constante en su discurso de capacitación. Yo fui particularmente sensible a este enfoque. Ya cuando estaba en el profesorado de química me fascinaban las clases de Filosofía, al punto que el docente me incitaba a abandonar la química. Creo que era el único de los 25 que conformaban el curso que participaba de ese entusiasmo. Para el resto la filosofía no tenía nada que hacer en el ámbito de la ciencia.

LOGO, más allá de sus cualidades como lenguaje de programación, me impactó en esa época porque lo relacioné enseguida  con el concepto del Logos enunciado por Heráclito en los albores de la Grecia clásica. Pero también tenía para mi hasta ecos religiosos. El Evangelio de Juan (año 100 DC), muy influenciado por la filosofía griega, fue escrito en griego. Su primer versículo dice: “En el principio era el Verbo, y el Verbo era con Dios,  y el Verbo era Dios”. La palabra original traducida por Verbo era justamente LOGOS. En el principio era el LOGOS. Los nombres son importantes por los significados que les damos. En comparación, SCRATCH ¿qué puede significarme?.

Pero no todo era filosofía y religión. Mientras la mayoría de mis compañeros veían una tortuga yo veía un vector. Cada imagen programada con dificultad era una suma vectorial. Cuando hice un círculo me di cuenta que la tortuga generaba la curva mediante una sucesión de “diferenciales”. El rumbo (o sea la inclinación de la tangente) de cada diferencial variaba en forma lineal, porque que la derivada de una cuadrática es una función lineal.

Todo esto era muy poderoso. Además te daba poder para generar infinitas formas y entender conceptos complejos. La tortuga era un objeto matemático serio, un invento genial. En 30 años no he visto nada igual.

Y todo esto se comunicaba mediante el LOGOS, la palabra, el verbo, la acción, que la tortuga mediatizaba en la pantalla.

VECTORES Y DIFERENCIALES

PITÁGORAS: MATEMÁTICA Y MISTICISMO

Pitágoras nació en el 569 AC en la isla de Samos, en el paradisíaco mar Griego, casi pegado a Persia. No hay muchos datos sobre su vida. No dejó ningún escrito y todo lo que sabemos es por medio de sus discípulos que habitualmente le atribuyeron todos sus descubrimientos.

Por ellos sabemos que viajó por el mundo civilizado de entonces, especialmente Egipto y Babilonia, culturas que influyeron intensamente en sus conocimientos y vida. Los egipcios son considerados los “inventores” de la geometría, palabra que significa “medición de la tierra”, y cuyos conocimientos aplicaban a marcar las tierras que anualmente eran barridas por el Nilo. Desarrollaron una aritmética empírica y utilitaria, aunque suelen encontrarse con papiros conteniendo problemas abstractos. Los egipcios conocían las relación de la tríada [3 4 5], una de las tríadas formada por números enteros que cumplen con la relación pitagórica. En Babilonia además de conocimientos astronómicos, Pitágoras recibió de los sacerdotes que ejercían la ciencia matemática, la convicción de una relación imprescindible entre matemática y religión.

De regreso a Samos se destacó como un hombre de extraordinario intelecto pero al mismo tiempo de ideas exóticas que evolucionarían hacia una nueva religión basada en la creencia de que la materia con que está hecho el Universo es el número. Su creencia estaba alimentada no solo por la religiosidad que había absorbido en los astrónomos y matemáticos babilónicos, sino por la matemática misma que permitía describir un orden en las relaciones de la belleza, de los intervalos musicales y del movimiento de los planetas.  Si nos ponemos a pensar, es sorprendente que casi todo sea “numerable” o “calculable”. Hasta el alma parece que pesa 21 gramos.  Esa admiración se transformó en una nueva religión que sobrevivió varios siglos a su creador.  Sus ágoras académicos se transformaron en una Gran Hermandad, sus alumnos pasarían a ser sus discípulos y él, su profeta.

A Pitágoras se le atribuye la invención del álgebra y del método deductivo que utiliza para realizar demostraciones imposibles desde el método empírico. Por ejemplo los egipcios sabían que la raíz de 2 no podía reducirse a un número fraccionario. Siempre que se divide se llega a un resto diferente de 0. Puedo hacer la división hasta 100000 veces pero, ¿cómo saber que en la 100001 se llegará al mismo resultado?. Pitágoras demostró la irreductibilidad de la raiz de 2 mediante el método de reducción al absurdo. Sus genialidades se ven opacadas por suspuestos religiosos que no tenían la rigurosidad de su pensamiento, por ejemplo los números tenían sexo, machos los impares, hembras los pares. Enseñaba que el primer número era el 3, pues el 1 era indivisible y el 2 hembra :=). El 5 se asociaba al matrimonio pues era la suma del primer número hembra con el primer número macho. “Pitágoras y su teorema en 90 minutos” de Paul Strathern, es un breve texto que describe amenamente el  pensamiento y la religiosidad del gran matemático.

Escultura de Pitágoras en Samos.

EL TEOREMA DE PITÁGORAS

Me he sorprendido al leer el texto de Strathern que el teorema tiene más de 400 demostraciones diferentes. Los chinos dejaron una de ellas en un texto del Siglo V AC. En su forma simplificada puede verse abajo. Se trata de un cuadrado cuyo lado es la suma de las longitudes de 2 catetos a y b, siendo d la hipotenusa del triángulo rectángulo. A su vez d es el lado del cuadrado grisado. Según Strathern esta demostración encierra una gran belleza.

Sup. Cuadrado externo = (a + b)²

Sup. triángulo = b*a/2

Sup. cuadrado gris =  d²

d² = (a + b)²  –  4. (a*b/2)

d² = a² + b² + 2ab – 2ab

d² = a² + b²

Como d es la hipotenusa del triángulo y a y b sus catetos

H² = a² + b²

Con lo que queda demostrada la relación.

PROGRAMANDO LA CAJA CHINA

Programemos en FMS LOGO un procedimiento con 2 inputs que definen los 2 catetos :A y :B. No incluiremos el relleno del cuadrado interior.

PARA CAJA_CHINA  :A  :B
REPITE 4 [AV :A GD 90 AV 5 RE 10 AV 5 GI 90 AV :B GD 90]
AV :A
MAKE “HIPO POTENCIA :A*:A+:B*:B  1/2  (calcula la hipotenusa aplicando Pitágoras) (1)
MAKE “ANG ARCTAN :A/:B  (calcula el ángulo que debe girar para trazar el segmento d)
GD :ANG
REPITE 4 [AV :HIPO GD 90]
FIN

(1) POTENCIA es un comando Logo con 2 inputs POTENCIA BASE EXPONENTE. El exponente  1/2 corresponde a una raíz cuadrada.

EL TEOREMA, 1/3 DE LA FELICIDAD

He enseñado a muchas generaciones que el conocimiento del Teorema de Pitágoras nos asegura 1/3 de la felicidad. Claro que se trata de una hipérbole (no hipérbola), que enfatiza el poder y la importancia del pensamiento matemático y particularmente algebraico.

Los otros 2/3 los dejo para otra oportunidad.

Sucede que me he encontrado con este teorema en innumerables problemas especialmente de física. Así en la suma vectorial el método cartesiana consiste en reducir cada vector a sus 2 componentes ortogonales Vx y Vy (en el plano) Las componentes ortogonales pueden sumarse aritméticamente pues están en la misma dirección y las resultantes ortogonales quedan conectadas con la resultante mediante Pitágoras.Es un caso especial de una heurísitica que reduce un problema complejo a problemas simples.

En cierta forma ésto es parte de la felicidad.

TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS

Se denominan así a aquellos cuyos catetos e hipotenusa tienen longitudes enteras. Ya  hemos mencionado que los egipcios conocían la tríada [3 4 5], ya que  3² + 4² = 5²

ESCUADRA MECCANO 3 4 5

Yo me encontré con esta tríada cuando intentaba realizar una escuadra con Meccano. Las piezas Meccano pueden medirse por sus agujeros que son proporcionales a la longitud de la pieza. Una tira de 6 agujeros tiene 5 espacios, las de 5 agujeros, 4 espacios y la de 4 agujeros, 3 espacios. Una escuadra se determina por piezas que tengan una relación de espacios enteras, ya que no se puede poner un tornillo a 4,5 espacios. Esta es una razón para tener un stock de tiras de 6 agujeros (5 espacios) pues se utilizaran con mayor frecuencia que otras.

¿Qué otras tríadas pitagóricas hay de números enteros?. Son infinitas.

Hagamos un procedimiento LOGO que por iteración busque esas tríadas para valores entre 1 y 100.

PARA ENTERO? :NU
DEV (ENTERO :NU) = :NU
FIN

 

PARA PITAENTEROS
MAKE “SOLUTIONS []
PITAENTERO2 1 1
ES CUENTA :SOLUTIONS
ES :SOLUTIONS
FIN

PARA PITAENTERO2 :C1 :C2
SI :C2 > 100 [alto]
PITAENTERO1 :C1 :C2
PITAENTERO2 :C1 + 1 :C2 + 1
fin

PARA PITAENTERO1 :C1 :C2
SI :C1 = 100 [alto]
MAKE “HIP  POTENCIA (:C1*:C1 + :C2*:C2)  1/2
SI ENTERO? :HIP [MAKE “SOLUTIONS PONPRIMERO (LISTA :C1 :C2 :hip) :SOLUTIONS]
PITAENTERO1 :C1 + 1 :C2
fin

Resultado:

63 tríadas

[84 80 116] [100 75 125] [96 72 120] [92 69 115] [88 66 110] [72 65 97] [84 63 105] [91 60 109] [80 60 100] [63 60 87] [76 57 95] [90 56 106] [72 54 90] [68 51 85] [90 48 102] [64 48 80] [55 48 73] [60 45 75] [56 42 70] [96 40 104] [75 40 85] [42 40 58] [80 39 89] [52 39 65] [77 36 85] [48 36 60] [84 35 91] [56 33 65] [44 33 55] [60 32 68] [72 30 78] [40 30 50] [96 28 100] [45 28 53] [36 27 45] [60 25 65] [70 24 74] [45 24 51] [32 24 40] [72 21 75] [28 21 35] [99 20 101] [48 20 52] [21 20 29] [80 18 82] [24 18 30] [63 16 65] [30 16 34] [36 15 39] [20 15 25] [48 14 50] [84 13 85] [35 12 37] [16 12 20] [60 11 61] [24 10 26] [40 9 41] [12 9 15] [15 8 17] [24 7 25] [8 6 10] [12 5 13] [4 3 5]

PERÍMETRO Y SUPERFICIE

Entre las tríadas pitagóricas hay 2 que cumplen con una singular condición, la superficie es igual al perímetro. Hagamos los procedimientos para que Logo busque iterativamente estas 2 tríadas, teniendo en cuenta que la tríada  [A B C] es la misma que [B A C].

PARA TRIANPITA
BT MAKE “SOLUTIONS []
TRIANPITA2 1 1
ES :SOLUTIONS
SUPPERI :SOLUTIONS
FIN

PARA TRIANPITA2 :c1 :c2
ES :c2
SI :c2 > 100 [ALTO]
TRIANPITA1 :c1 :c2
TRIANPITA2 :c1 + 1 :c2 + 1
fin

PARA TRIANPITA1 :c1 :c2
ES fRASE :C1 :C2
SI :c1 = 100 [alto]
MAKE “hip potencia (:c1*:C1 + :c2*:C2) 1/2
MAKE “peripita :c1 + :c2 + :hip
MAKE “suppita :c1 * :c2 / 2
SI :peripita = :suppita [MAKE “SOLUTIONS PONPRIMERO (LISTA :c1 :c2 :hip) :SOLUTIONS ]
TRIANPITA1 :c1 + 1 :c2
fin

PARA SUPPERI :L
SI VACIO? :L [ALTO]
TYPE PRIMERO :L TYPE CAR 32
(TYPE [PERIMETRO=] (ITEM 1 PRIMERO :L) + (ITEM 2 PRIMERO :L) + (ITEM 3 PRIMERO :L))
TYPE CAR 32
(ES [SUPERFICIE =] (ITEM 1 PRIMERO :L) * (ITEM 2 PRIMERO :L) / 2)
ES []
SUPPERI MP :L
FIN

Resultados:

[8 6 10] [12 5 13]
8 6 10 PERIMETRO=24 SUPERFICIE = 24
12 5 13 PERIMETRO=30 SUPERFICIE = 30

PITÁGORAS POR APROXIMACIÓN

Trazar las diagonales de un rectángulo conocidos el alto y el ancho es un problema que necesita trigonometría para calcular el ángulo de la diagonal.

En LOGO una solución es:

para recdiago :a :b
pongrosor 2
repite 2 [av :a gd 90 av :b gd 90]
make “angudiago arctan :b/:a    (calcula el ángulo)
make “diago potencia (:a*:a + :b*:b) 1/2    (calcula la diagonal aplicando Pitágoras)
pongrosor 1
gd :angudiago
av :diago
re :diago
gi :angudiago
av :a
gd 180 – :angudiago
av :diago

FIN

RECDIAGO 200 400

El ángulo de la diagonal (la hipotenusa) es una función del alto y el ancho. En el caso de un cuadrado el ángulo es 45° y la diagonal una función del lado. Es posible hacer una determinación empírica aproximada de la diagonal.

PARA CUA :LADO :CO
REPITE 4 [AV :LADO GD 90]
GD 45
AV :LADO * :CO
FIN

Probando con distintos factores (:co) podemos encontrar que la diagonal (o sea la hipotenusa de cualquiera de los 2 triángulos interiores) es aproximadamente 1.41 * :lado. Este valor es la RAIZ de 2 con sólo 2 decimales.
Esto está de acuerdo con el teorema de Pitágoras. En este achivo encontrarás una descripción: la-tortuga-robot-y-el-mundo-geometrico

CUADENTROS. DESAFÍOS Y CREATIVIDAD PITAGÓRICA

Estos son 2 diseños de CUADENTROS creados por alumnos de 1° año. Los CUADENTROS son figuras geométricas diseñadas dentros de un cuadrado y generadas por segmentos ortogonales y diagonales que están en una relación sencilla del lado del cuadrado. 1/2 1/3 1/4 1/6. La relación de la diagonal 1.41 se determina por aproximación.

ROCKET – LUZ

EMBUDO – EMILIANO

PARA ROCKET_LUZ :LADO BL REPITE 4 [AV :LADO GD 90] GD 90 AV :LADO/3 GI 90 AV :LADO/3 GI 90 AV :LADO/6 GI 45 AV :LADO *1.414/6 GD 45 GD 90 AV :LADO/2 GD 135 AV :LADO * 1.414/6 GI 45 AV :LADO/6 GI 90 AV :LADO/2 GD 135 AV :LADO * 1.414/6 GI 90 AV :LADO * 1.414/6 GD 135 AV :LADO/2 GI 90 AV :LADO/6 GI 45 AV :LADO * 1.414/6 GD 135 AV :LADO/2 GD 135 AV :LADO * 1.414/6 GI 45 AV :LADO/6 GI 90 AV :LADO/3 GD 135 AV :LADO * 1.414 / 6 GI 90 AV :LADO * 1.414/6 SL GD 45 AV :LADO/3 GD 90 AV :LADO/3 GD 90 AV :LADO/6 AV :LADO/3 RELLENA GD 90 AV :LADO/3 GD 90 AV :LADO/2 GD 90 FIN

PARA  EMBUDO :LA BL repite 4 [av :la gd 90] av :la/6 gd 90 av :la/2 gi 90 av :la *2/6 gi 45 av :la *1.414/2 gd 135 av :la gd 90 av :la * 1/4 gd 90 av :la /4 gd 135 av :la *1.414 /4 gd 135 av :la gd 90 av :la/2 gd 90 sl av :la *3/4 rellena re :la *3/4 gi 90 av :la/2 gd 90 fin

PITÁGORAS 3D

Finalmente apliquemos LOGO para graficar las diagonales de un paralelepípedo.

 

para parale :a :b :h
pongrosor 2
poncl 0
repite 2 [repite 2 [av :h gd 90 av :a gd 90]
gd 90
av :a gi 90
rightroll 90
repite 2 [av :h gd 90 av :b gd 90]
gd 90
av :b gi 90  rightroll 90]
make “d2d potencia :a*:a + :b*:b 1/2   (calcula la diagonal de la base)
make “angudia2d arctan :b/:a
make “d3d potencia :d2d*:d2d  + :h*:h 1/2   (calcula la diagonal espacial del paralelepípedo)
make “angudia3d arctan :h/:d2d
rightroll :angudia2d
gd 90
pongrosor 1   poncl 5
av :d2d
re :d2d
gi :angudia3d
av :d3d
fin

 

PITÁGORAS Y LA EDUCACIÓN

En la época que vivimos la Educación se ha convertido en una subsidiaria de las TIC. El mercado domina el pensamiento y con sus cantos de sirena empujan una dependencia no solo tecnológica, sino principalmente sicológica. Los fundadores del Logo tenían otra cosmovisión de la tecnología y la educación. Solo era válida la tecnología que nos demandaba esfuerzo y creación, en lugar de la actual valoración de la sustitución y la velocidad. El conocimiento y en particular el matemático está cuestionado y parece prevalecer una concepción utilitaria. Para Pitágoras la matemática regía el mundo, pero no como ciencia de lo útil, sino como organizadora de la mente,como formadora del pensamiento. En su afan místico los pitagóricos crearon normas y preceptos que hoy nos darían risa, pese a todo, no solo el teorema de Pitágoras  mantiene actualidad. El genio de Samos nos dejó también pensamientos que iluminan.